常用特殊函数

在曲面坐标系中对于类似亥姆霍兹的方程求解的过程中，常常会出现几个特殊函数，这些特殊函数在物理中有着广泛的应用。因此，本篇文章将总结一下这些特殊函数以及他们的性质。

1. 正交曲面坐标系

度规

引入曲面坐标系 : 引入： 则互相独立。

定义由相互垂直的构成的坐标系为正交曲面坐标系。

为一段弧长，则 其中： 由正交性知： 由构成的矩阵称为空间上的度规 ### 梯度 令，则梯度为： ### 散度 的散度为: ### Laplace算符 > e.g. > 柱坐标： > > 球坐标： >

2. 亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程的来源

对于波动方程： 令分离变量： 即为亥姆霍兹方程

在曲面坐标系中分离变量

柱坐标系中的亥姆霍兹方程

令： 再令： 即为 Bessel 方程

球坐标系中的亥姆霍兹方程

令： 此为 球Bessel 方程

再令: 此为连带勒让德方程

在时，满足转动对称性，此时变为勒让德方程

3. 勒让德函数

1. 满足的方程 若令

2. 方程的解

   令，代入方程得到递推关系 偶数项和奇数项可以完全分开 但在时，物理上经常要求解有界，所以和中有一个是多项式： 由此得到第一类勒让德函数的表达式： 第二类勒让德函数为：

3. 勒让德函数的性质

   • 微分表示（Rodrigus）公式
   • 正交归一

4. 连带勒让德函数

1. 满足的方程 若令

2. 方程的解

3. 连带勒让德函数的性质

   • 与线性相关
   • 正交归一

5. 球谐函数

1. 满足的方程

   在球坐标分离变量的时候，只分离出: 满足

2. 方程的解

3. 球谐函数的性质

   正交归一：

6. 柱函数

1. 满足的方程 称为阶Bessel方程

2. 方程的解

   第一类Bessel函数： 第二类Bessel函数（Neumann函数）

   在的时候发散

3. 对于一般的本征值问题，作变换 变为Bessel方程。所以常看到的解的形式是

7. 球Bessel函数

1. 满足的方程

2. 方程的解

3. 球Bessel函数的性质

   • 原点处的值：
   • 正交归一性：

8. 合流超几何函数

1. 满足的方程

2. 方程的解为

3. 合流超几何函数的性质

   当是整数时退化为拉盖尔多项式。在量子力学中求氢原子的径向波函数时会用到这一性质。