常用特殊函数

在曲面坐标系中对于类似亥姆霍兹的方程求解的过程中，常常会出现几个特殊函数，这些特殊函数在物理中有着广泛的应用。因此，本篇文章将总结一下这些特殊函数以及他们的性质。

1. 正交曲面坐标系

度规

引入曲面坐标系 :

引入：

则互相独立。

定义由相互垂直的构成的坐标系为正交曲面坐标系。

为一段弧长，则
其中：

由正交性知：

由构成的矩阵称为空间上的度规

梯度

令，则梯度为：

散度

的散度为:

Laplace算符

e.g.
柱坐标：

球坐标：

2. 亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程的来源

对于波动方程：

令分离变量：

即为亥姆霍兹方程

在曲面坐标系中分离变量

柱坐标系中的亥姆霍兹方程

令：


再令：


即为 Bessel 方程

球坐标系中的亥姆霍兹方程

令：

此为 球Bessel 方程

再令:

此为连带勒让德方程

在时，满足转动对称性，此时变为勒让德方程

3. 勒让德函数

1. 满足的方程
   
   若令
   

2. 方程的解

   令，代入方程得到递推关系
   
   偶数项和奇数项可以完全分开
   
   但在时，物理上经常要求解有界，所以和中有一个是多项式：
   
   由此得到第一类勒让德函数的表达式：
   
   第二类勒让德函数为：
   

3. 勒让德函数的性质

   • 微分表示（Rodrigus）公式
     
   • 正交归一
     $$ \int {-1}^{1}P{k}(x)P_{l}(x)dx=\frac{2}{2l+1} \delta_{kl} $$

4. 连带勒让德函数

1. 满足的方程
   
   若令
   

2. 方程的解

   
   $$ P^{m}{\nu}(x)=(-1)^{m} (x^{2}-1)^{m/2} \frac{d^{m}P{\nu}(x)}{dx^{m}}$$

3. 连带勒让德函数的性质

   • $P^{m}{\nu}P^{-m}{\nu}$ P^{-m}{\nu}(x)=(-1)^{m} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}P{l}^{m}(x) $$
   • 正交归一
     

5. 球谐函数

1. 满足的方程

   在球坐标分离变量的时候，只分离出:
   
   满足
   $$ S|{\phi=0}=S|{\phi=2\pi},\ \frac{\partial S}{\partial \phi}|{\phi=0}=\frac{\partial S}{\partial \phi}|{\phi=2\pi} $$

2. 方程的解
   

3. 球谐函数的性质

   正交归一：
   

6. 柱函数

1. 满足的方程
   
   称为阶Bessel方程

2. 方程的解

   第一类Bessel函数：
   
   第二类Bessel函数（Neumann函数）

   
   在的时候发散

3. 对于一般的本征值问题，作变换
   
   变为Bessel方程。所以常看到的解的形式是

7. 球Bessel函数

1. 满足的方程
   

2. 方程的解
   

3. 球Bessel函数的性质

   • 原点处的值：
     
   • 正交归一性：
     

8. 合流超几何函数

1. 满足的方程
   

2. 方程的解为
   
   

3. 合流超几何函数的性质

   当是整数时退化为拉盖尔多项式。在量子力学中求氢原子的径向波函数时会用到这一性质。